Matematica CBC

$\left [ \left ( \frac{1}{5} \right )^3 \left (\frac{1}{5}  \right )^4\right ]^\frac{2}{7}$
$\left [ \left (\frac{1}{5}  \right )^7\right ]^\frac{2}{7}$
$\left (\frac{1}{5}  \right )^\left ( 7* \frac{2}{7}\right )$
$\left (\frac{1}{5} \right )^2$
$\frac{1}{25}$

Trigonometria

26
a.
$\sin{2x}\tan{x}+\cos{2x}=1$
$2\sin{x}\cos{x}\frac{\sin{x}}{\cos{x}}+\cos^2{x}-\sin^2{x} = 1$
$\sin^2{x} +\cos^2{x} = 1 $
1=1
b.

$\sin{2x}\sin{x}+2\cos^3{x}= 2\cos{x}$
$2\sin{x}\cos{x}\sin{x}+ 2\cos^2{x}\cos{x}$
$2\sin^2{x}\cos{x}+ 2\cos^2{x}\cos{x}$
$2\cos{x}[\sin^2{x}+ \cos^2{x}]$
$2\cos{x}$=$2\cos{x}$

Ejercicio de Masa Analisis 2 UTN

Calcular la masa del cuerpo limitado por $x^{2}+z^{2}=4  , y^{2}+z^{2} =4$
en el primer octante si su densidad en cada punto es proporcional a la distancia desde el punto al plano xz

Masa =  $\int_ \int_ \int_v S(x,y,z)dxdydz $

Con S(x,y,z) la densidad del cuerpo V en cada uno de sus puntos, que seria ky(k por ser proporcional e y por ser el plano xz osea el eje y)
Lamentablemente estos ejercicios son muy gráficos y todavía no se una forma fácil de graficar  acá.

Masa = $\int_ \int_ \int_ Vydxdydz $
M=$\int_0^2 dx \int_0^{\sqrt{4-x^2}}dz\int_0^ {\sqrt{4-z^2}}  ydy $

Planteada la integral solo queda resolverla acordate que va a quedar un k al final.


Pd: Por un error se me borraron todos los comentarios, igual estaban todos resueltos, pero una lastima que no queden.

Ejercicio de Parcial UTN Limite

Hallar a,b $\in \mathbb{R}$ / $\displaystyle\lim_{x \to{}\infty}{}$ ($\frac{ax+b}{1-2x})^{-3x}$ =$e^-6$ .


Esto es parecido a :  $\lim_{x \to{}\infty}{}$ (1 +$\frac{1}{(   )})^{(   )} $ = e
entonces lo intentamos llevar a esa forma.


$\lim_{x \to{}\infty}{}$ $\frac{ax+b}{1-2x} \Rightarrow{\frac{\infty}{\infty}}$

Para salvarla dividimos por x numerador y denominador

$\lim_{x \to{}\infty}{}$$\frac{\frac{ax}{x}+\frac{b}{x}}{\frac{1}{x}+\frac{2x}{x}} $



$\lim_{x \to{}\infty}{}$$\frac{a+\frac{b}{x}}{\frac{1}{x}-2} $


b/x $\Rightarrow{0}$ y 1/x $\Rightarrow{0}$

Igualamos a 1 asi queda $1^{\infty}$
$\frac{-a}{2} $ = 1

a=-2

$\lim_{x \to{}\infty}{}$  (1+$\frac{-2x+b}{1-2x}-1)^{-3x}$
desarrollando queda
$\lim_{x \to{}\infty}{}$  (1+$\frac{b-1}{1-2x})^{-3x}$
$\lim_{x \to{}\infty}{}$  (1+$\frac{1}{\frac{1-2x}{b-1}})^{-3x}$
y llevamos el  $\frac{1-2x}{b-1}$  al exponente asi queda igual y para no alterar la expresión dividimos por su inverso

$\lim_{x \to{}\infty}{}$  (1+$\frac{1}{\frac{1-2x}{b-1}})^{-3x (\frac{1-2x}{b-1})(\frac {b-1}{1-2x})}$   


y (1+$\frac{1}{\frac{1-2x}{b-1}})^{ (\frac{1-2x}{b-1})}$   
es el numero "e" (dejando afuera el -3x)


$\lim_{x \to{}\infty}{}$  $ e^{-3x  \frac{b-1}{1-2x}} $

y
$\lim_{x \to{}\infty}{}$  $\frac{3x}{1-2x}$ = $\frac{\infty}{\infty}$


dividiendo esta parte por x queda
$\lim_{x \to{}\infty}{}$  $\frac{3}{\frac{1}{x}-2}$  = $\frac{-3}{2}$


$e^{-(\frac{-3}{2} (b-1)} = e^{-6}$


y ahi igualando exponentes te termina quedando b = -3

Saludos

Ej de Long arco curva Analisis 2 UTN

La curva C = y=x $\cap$ $x^2$+z=3 interesecta al paraboloide de ecuación z=$x^2+y^2$ en el punto A del primer octante.Calcule la long del arco de C incluido en el primer octante
Pasamos la ecuación a Parametricas de la Curva C
x=t
y=t
z=3-$t^2$

Observando la curva
si t=0 nos da x=0 , y =0, z=3, ya si t<0, x e y son negativos y no corresponde al primer octante.

Ahora si t=$\sqrt{3}$ z=0, para t > $\sqrt{3}$ ya la curva no esta incluida en el primer octante.

Por lo tanto 0<<t<<$\sqrt{3}$

Ahora la longitud esta dada por la siguiente integral:
$\int_a^b$ ||f '(t)|| dt   siendo ||f '(t)|| = $\sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2 + z'(t)^2}$

L =$\int_0^\sqrt{3} \sqrt{1+1+4t^2} $  dt
L =$\int_0^\sqrt{3} \sqrt{1/2 +t^2} $ dt

La integral te la dejo a vos, tenes q hacer barrow y al final te va a quedar un ln.

Ejersicio 23 Algebra CBC Exactas-Ingenieria tp1

Sean $\pi$  : 2x-y +3z=5

         $\pi$' : x+3y -z=2

                L:  X= $\alpha$(1,-1,-1)+ (1,0,-2)

                L': X= $\beta$(3,5,1) +(0,1,2).

Hallar L$\cap \pi $ L'$\cap \pi $ y $\pi \pi' $

Resolución:

Para hallar la intersección entre una recta y un plano , pasamos la recta a ecuaciones Parametricas y despues igualamos ambos.

X= $\alpha$ +1

Y= -$\alpha$                  Parametricas de la recta

Z= -$\alpha$ -2

e Igualamos con el plano

2$\alpha$ +2 + $\alpha$ -3$\alpha$ -6 =5

-4=5

Lo que es absurdo, por lo tanto La recta no corta al plano

L$\cap \pi $= $\emptyset$

Lo mismo para la otra recta, aunque esa seguramente si tenga intersección, y te va a dar un punto.

Ahora  $\pi \pi' $

2x-y+3z=5 (1)

x+3y-z=2 (2)

Esto es un sistema de 2 ecuaciones con 3 incógnitas, acá podes usar cualquier método.

Yo uso sustitución 

y=2x+3z-5 de (1)

Reemplazo en (2)

x+6x+9z-15-z=2

x=-8/7z +17/7 

Reemplazo en (1)

y= -16/7z +34/7 +3z -5

y= 5/7z -1/7

Y logramos dejar todo en funcion de Z

Por lo que la ecuacion de la recta Interseccion es

R: (x,y,z) = z(-8/7,5/7,1) + (17/7,-1/7,0)

Ejercicios Divisibilidad

bueno acá va un ejercicio que me pidió Monica por mail, es  del ingreso 2012 del profesorado matemática del Joaquin v Gonzalez.


31.
Demuestre la divisibilidad de los numeros:
a.
$8^{10}-8^{9}- 8^{8}$ por 55


Resolución:


Primero vamos a explicar el concepto de divisibilidad entre dos numeros
Decimos que "b" divide a "a" ( b/a) si existe otro numero k tal que a=bk
con a b y k enteros


a.
$8^{10}-8^{9}- 8^{8}$ =  55K (Ya que pide ser divisor de 55)

a $8^8$ lo llamamos K'   (K' e R)
$8^{10} = 8*8$.K'
$8^{9}$ = 8*$K'
por lo tanto
64K'-8K'-K' = 55K
55k'=55k que era lo que queríamos probar.